Лабораторная работа №3
Определение коэффициента вязкости жидкости
Цель работы: познакомиться с методами определения
вязкости жидкостей, научиться определять вязкость жидкости с
помощью капиллярного вискозиметра.
Оборудование: капиллярный вискозиметр ВПЖ-1,
термометр, секундомер, дистиллированная вода, исследуемая
жидкость, резиновая груша.
Вопросы входного контроля
1. Понятие давления.
2. Что называется плотностью тела.
3. Уравнение неразрывности течения жидкости в трубе.
4. Уравнение Бернулли.
5. Выталкивающая сила (сила Архимеда).
6. Давление столба жидкости.
Краткая теория
Понятие вязкости, единицы измерения
Живой организм – сложная система. Большую часть его
составляют жидкие среды (кровь, лимфа, синовиальная,
плевральная и др. жидкости), благодаря перемещению которых
ткани и органы получают питательные вещества и осуществляется
взаимодействие организма с окружающей средой.
Одним из важных свойств жидкостей является вязкость или
внутреннее трение. Определение вязкости имеет большое
значение в практической медицине:
✓ в клинической диагностике: измерение вязкости крови с
помощью вискозиметров, оценка скорости оседания эритроцитов;
✓ в судебной медицине (используют зависимость
вязкости крови от возраста и пола);
✓ в медицинских исследованиях: определяется вязкость
(микровязкость) цитоплазмы клетки. Она зависит от структуры
составляющих её биополимеров и субклеточных образований, от
периода клеточного цикла, от температуры, от интенсивности
различных внешних воздействий (например, радиоактивного
облучения).
2
Вязкость (внутреннее трение) жидкости – это свойство
реальной жидкости оказывать сопротивление перемещению
одного слоя жидкости относительно другого. Вязкость
проявляется в том, что при относительном перемещении слоёв
жидкости с разными скоростями медленнее движущийся слой
жидкости «тормозит» слой, движущийся быстрее, и наоборот.
Вязкость обусловлена наличием между молекулами жидкости сил
притяжения, которые при перемещении одного слоя жидкости
относительно другого сдерживают движение слоёв. И. Ньютон
экспериментально установил, чем больше различие между
скоростями этих слоев и чем больше площадь их соприкосновения,
тем больше сила внутреннего трения.
В опыте И. Ньютона, в сосуде с
исследуемой жидкостью на
горизонтальной узкой упругой
проволоке (пружине) AB вертикально
укреплена небольшая пластина C
площади S из материала, смачиваемого
исследуемой жидкостью (рис. 1).
Рис. 1. Схема опыта И. Ньютона и профиль распределения
скорости слоев жидкости между пластинами D и C.
На малом расстоянии
x за ней помещается длинная пластина
D. Если заставить пластину D двигаться вверх со скоростью υ, то
благодаря внутреннему трению она приведет в движение
прилегающие слои жидкости, которые в свою очередь будут
действовать на пластину C. В результате пластина C испытает
направленную вверх силу F и несколько сместится вверх из
положения равновесия. По положению на шкале E конца пружины
3
АВ можно определить величину силы F, если пружина была
предварительно проградуирована. Результаты опытов показали,
что сила F обратно пропорциональна расстоянию
x между
пластинами, прямо пропорциональна площади S пластины C и
прямо пропорциональна относительной скорости
υ обеих
пластин. Таким образом, И. Ньютоном была экспериментально
установлена формула:
тр
d
FS
dx
=
. (1)
где
– коэффициент динамической вязкости (часто называют
вязкостью),
d
dx
– поперечный градиент скорости, S – площадь
соприкосновения слоёв.
Поперечный градиент скорости
d
dx
характеризует быстроту
изменения скорости между двумя слоями жидкости и численно
равен изменению скорости, приходящемуся на единицу
расстояния между слоями в направлении, перпендикулярном
поверхности слоя и определяется по формуле:
21
d
dx dx
−
=
,
1
1
м
dсс
dx мс
−
= = =
.
В СИ единицей измерения градиента скорости является с-1.
Физический смысл динамического коэффициента вязкости
формулируется из формулы Ньютона (1):
12
.
тр
FНПа с
dсм
S
dx
−
= = =
.
Согласно этому выражению, коэффициент динамической
вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей
между двумя слоями жидкости на площади соприкосновения 1 м2
при градиенте скорости, равном 1 с-1.
В СИ единицей измерения коэффициента динамической
вязкости является Па∙с (паскаль-секунда).
Для многих жидкостей коэффициент динамической вязкости
зависит только от её химического состава (или природы жидкости)
и температуры; с повышением температуры вязкость уменьшается.
4
В некоторых случаях принято пользоваться кинематической
вязкостью ν, равной коэффициенту динамической вязкости
жидкости
, делённой на плотность жидкости
:
=
.
В СИ кинематическая вязкость измеряется в м2/с.
Для характеристики вязкости на практике часто применяют
понятие относительной вязкости
отн:
0
отн
=
.
здесь
– коэффициент динамической вязкости жидкости,
0 = 10-3 Пас – вязкость воды при 20 ⁰С.
Относительная вязкость показывает во сколько раз вязкость
жидкости больше вязкости воды при одинаковых температурах.
Относительная вязкость крови является важным диагностическим
показателем состояния организма. Относительная вязкость крови
в норме составляет 4,2 – 6. При патологии она может снижаться,
например, до 2 – 3 при анемии или повышаться до 15 – 20 при
полицитемии. Относительная вязкость сыворотки крови в норме
составляет 1,64 – 1,69, а при различных видах патологии обычно
находится в пределах 1,5 – 2,0.
Жидкости делятся по вязким свойствам на два вида:
ньютоновские и неньютоновские. Ньютоновской называется
жидкость, коэффициент вязкости которой зависит только от ее
природы и температуры. Для них справедлива формула Ньютона
(1), коэффициент вязкости в которой является постоянным
параметром, не зависящим от условий течения жидкости.
Неньютоновской называется жидкость, коэффициент
вязкости которой зависит не только от природы вещества и
температуры, но также и от условий течения жидкости, в
частности от градиента скорости. Коэффициент вязкости в этом
случае не является константой вещества. При этом вязкость
жидкости характеризуют условным коэффициентом вязкости,
который относится к определенным условиям течения жидкости
(например, давление, скорость). Зависимость силы вязкости от
градиента скорости становится нелинейной.
5
Виды течения жидкости, число Рейнольдса
Различают два вида течения (рис. 2): ламинарное и
турбулентное. Ламинарное течение – течение жидкости, при
котором отдельные её слои движутся параллельно друг другу без
завихрений и не перемешиваются. Турбулентным называют
течение, при котором происходит интенсивное вихреобразование
и перемешивание слоёв жидкости, при таком течении скорость
частиц жидкости беспрерывно и хаотически изменяется.
Рис. 2. Виды течения жидкости.
Характер течения зависит от значения безразмерной
величины, называемой числом Рейнольдса:
Re D
=
, (2)
где ρ – плотность жидкости, υ – средняя (по сечению трубы) скорость
потока,
– коэффициент вязкости жидкости, D – характерный для
поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при
квадратном сечении, диаметр при круглом сечении и т.д.
Существует критическое значение числа Рейнольдса, которое
служит граничным параметром перехода ламинарного течения в
турбулентное. Если фактическое значение Re < Reкр, то жидкости
свойственно ламинарное течение, тогда как при Re > Reкр в потоке
возникают вихри, и движение приобретает турбулентный характер.
Число Рейнольдса используют при моделировании гидро- и
аэродинамических систем, в частности кровеносной системы. Как
правило, движение крови по сосудам является ламинарным. Однако
в ряде случаев возможно возникновение турбулентности.
Турбулентное движение крови в аорте может быть вызвано прежде
всего турбулентностью кровотока у входа в нее: вихри потока уже
изначально существуют, когда кровь выталкивается из желудочка в
аорту, что хорошо наблюдается при доплеркардиографии. У мест
разветвления сосудов, а также при возрастании скорости кровотока
6
(например, при мышечной работе) течение может стать
турбулентным и в артериях. Турбулентное течение может
возникнуть в сосуде в области его локального сужения, например,
при образовании тромба. Турбулентное течение связано с
дополнительной затратой энергии при движении жидкости, поэтому
в кровеносной системе это может привести к дополнительной
нагрузке на сердце. Шум, возникающий при турбулентном течении
крови, может быть использован для диагностики заболеваний. При
поражении клапанов сердца возникают так называемые сердечные
шумы, вызванные турбулентным движением крови.
Вязкость крови. Гемодинамика
Кровь является неньютоновской жидкостью, т. к. ее вязкость
резко падает с увеличением градиента скорости. При высоких
величинах градиента скорости кровь ведет себя как ньютоновская
жидкость. Эти свойства крови обусловлены тем, что при малом
градиенте скорости в ней имеются агрегаты эритроцитов (рис. 3). Эти
агрегаты распадаются по мере увеличения скорости сдвига, и
поэтому вязкость крови снижается и приближается постепенно к
определенному пределу. При большой скорости кровь можно
рассматривать просто как суспензию клеток. Это справедливо для
крови, текущей в крупных артериях. Течение крови по таким сосудам
зависит от концентрации и физических свойств эритроцитов.
Рис. 3. Кровоток в венулах.
В живом сосуде эритроциты легко деформируются, становясь
похожими на спираль, и проходят, не разрушаясь, через капилляры
даже диаметром ≈ 3 мкм (диаметр эритроцита ≈ 7,5 мкм). В
результате поверхность соприкосновения эритроцитов со стенкой
капилляра увеличивается по сравнению с недеформированным
эритроцитом, способствуя обменным процессам (рис. 4).
7
Зависимость вязкости от градиента скорости для нормальных
эритроцитов заметно отличается от кривой для сферических
частиц или «жестких» эритроцитов. При этом вязкость суспензии
эритроцитов при значении гематокрита, соответствующем
нормальной крови, т. е. около 40 %, почти вдвое ниже вязкости
жестких сферических частиц. Благодаря дисковидной форме
клеток и эластичности оболочки, суспензия эритроцитов обладает
относительно низкой вязкостью, что важно для уменьшения
нагрузки на сердце. Увеличение жесткости стенок эритроцитов
при патологических процессах приводит к возрастанию вязкости
и ухудшению кровообращения.
Рис. 4. Движение эритроцитов через капилляры.
Как и у любой жидкости, вязкость крови возрастает при
снижении температуры. Например, при уменьшении температуры
с 37 °С до 17 °С вязкость крови возрастает на 10 %.
Таким образом, на вязкость крови влияет ряд факторов: 1)
скорость кровотока (поэтому вязкость выше в капиллярах и ниже в
артериях); 2) концентрация эритроцитов; 3) эластичность мембран
клеток крови; 4) концентрация белков плазмы; 5) температура.
Гемодинамика – один из разделов биомеханики, изучающий
законы движения крови по кровеносным сосудам. Задача
гемодинамики – установить взаимосвязь между основными
гемодинамическими показателями, а также их зависимость от
физических параметров крови и кровеносных сосудов.
К основным гемодинамическим показателям относятся
давление и скорость кровотока. Давление – это сила F, действующая
со стороны крови на сосуды, приходящаяся на единицу площади S:
8
F
PS
=
.
Различают объемную и линейную скорости кровотока.
Объемной скоростью Q называют величину, численно равную
объему жидкости V, перетекающему в единицу времени t через
данное сечение трубы (сосуда):
V
Qt
=
.
Единица измерения объемной скорости – м3/с.
Линейная скорость υ представляет собой расстояние l,
проходимое частицами крови в единицу времени t:
l
t
=
.
Единица измерения – м/с.
Поскольку линейная скорость неодинакова по сечению
трубы, то в дальнейшем речь будет идти только о линейной
скорости, средней по сечению.
Линейная и объемная скорости связаны соотношением:
QS
=
,
где S – площадь поперечного сечения потока жидкости.
Так как жидкость несжимаема (то есть плотность ее всюду
одинакова), то через любое сечение трубы в единицу времени
протекают одинаковые объемы жидкости:
V
Q S const
t
= = =
. (3)
Это соотношение (3) называется условием неразрывности струи.
Оно следует из закона сохранения массы для несжимаемой жидкости.
Уравнение неразрывности струи относится в равной мере к
движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. При описании
физических законов течения крови по сосудам вводится
допущение, что количество циркулирующей крови в организме
постоянно. Отсюда следует, что объемная скорость кровотока в
любом сечении сосудистой системы также постоянна: Q = const.
Для стационарного ламинарного течения идеальной (не
имеющей внутреннего трения) несжимаемой жидкости по трубам
переменного сечения справедливо два основных уравнения
9
гидродинамики, это уравнение (3) называемое уравнением
неразрывности потока жидкости, и уравнение Бернулли,
согласно которому полное давление жидкости одинаково во всех
точках линии тока:
2
2
P g h const
+ + =
. (4)
где: ρgh – гидростатическое, P – статическое, ρ∙υ2/2 –
гидродинамическое давления жидкости.
В реальных жидкостях (вязких) по мере движения их по
трубе потенциальная энергия расходуется на работу по
преодолению внутреннего трения, поэтому давление жидкости
вдоль трубы падает. Для ламинарного течения реальной жидкости
в цилиндрической трубе постоянного сечения справедлива
формула (закон) Пуазейля.
Вывод формулы Пуазейля
В 1840 г. Пуазейль, профессор физики Парижской
медицинской школы, опубликовал результаты опытного
исследования течения воды по тонким капиллярным трубкам. Ему
удалось найти зависимость между протекающей в единицу
времени через поперечное сечение трубки воды объемным
расходом Q, разностью давлений
P = P1 – P2 на концах
капилляра, длиной трубки l и ее радиусом r. Эта зависимость,
получившая название закона Пуазейля, имеет вид Q = C
, где
C – некоторая постоянная величина.
В дальнейшем этот закон был выведен теоретически.
Приведем его вывод. Вывод закона течения жидкости по трубке
основан на следующих предположениях:
➢ все частицы жидкости движутся со скоростями,
параллельными оси трубки, т. е. скорость жидкости не имеет
составляющей перпендикулярной оси трубки (ламинарность);
➢ частицы жидкости, прилегающие к стенкам, имеют
скорость, равную нулю;
➢ течение жидкости является установившемся
(стационарным), скорость течения жидкости в любой точке не
изменяется со временем;
➢ жидкость несжимаема.
Выделим отрезок трубки (рис. 4) между двумя сечениями.
10
Рис. 4. К выводу формулы Пуазейля.
Рассмотрим внешние силы, действующие на выбранный
цилиндрический объем жидкости радиуса r. На торцы этого
цилиндра действуют силы, обусловленные давлениями P1 и P2.
Если жидкость движется вправо, то, очевидно, P1 > P2.
Равнодействующая сил давления, приложенных к торцам
заштрихованного цилиндра, равна: F=πr2(P1 – P2) = πr2ΔP и эта
сила направлена слева направо. На боковую поверхность
рассматриваемого цилиндра площадью S = 2πrl действуют
касательные усилия, равнодействующая которых, определяется по
формуле Ньютона (1): F=
и направление этой силы
трения будет справа налево.
Так как течение жидкости установившееся, то должно иметь
место равенство
1 = –
2, (знак «–» означает что сила направлена
противоположно движению). т. е.: πr2ΔP = – η
. (5).
Из этого равенства можно найти величину
, а затем
получить закон распределения скоростей по сечению трубки.
Увидеть это распределение скоростей можно на простом
опыте (рис. 5). Для этого заполняют часть цилиндрической трубки
вязкой жидкостью, например, глицерином. Сверху осторожно
наливают подкрашенный глицерин так, чтобы между слоями
11
получилась резкая граница. Затем открывают кран,
находящийся в нижней части трубки. Через некоторое
время слой окрашенного глицерина в нижней своей
части принимает форму вытянутого языка. Это значит,
что с наибольшей скоростью глицерин течет по оси
трубки. С приближением к стенке скорость течения
уменьшается и около самой стенки обращается в ноль.
Быстрота изменения скорости слоев в направлении,
перпендикулярном оси трубки, характеризуется
величиной
.
С учетом ΔP=P1 – P2 уравнение (5) перепишется в виде:
πr2 (P1 – P2) = – η
, откуда
=
. (6)
Проинтегрируем выражение (6) и найдем скорость
υ как функцию от r, где r – расстояние от оси трубы до стенки, при
r = R, скорость υ = 0.
=
=
=
( )=
=
. (7)
Наибольшая скорость υ будет на оси трубки r = 0. Зная теперь
функцию υ от r, рассчитаем объемный поток Q =
= υS.
Поскольку скорость υ, в поперечном сечении трубки неодинакова
разделим это сечение на узкие кольца шириной dr (скорость в
пределах такого кольца будем считать постоянной) и вычислим
величину объемного потока для каждого из таких колец, затем
просуммируем полученные значения по всем кольцам, чтобы
найти общий объемный поток. Поток через узкое кольцо будет
соответственно равен dQ = υdS, где dS = 2πrdr (площадь
поперечного сечения кольца), тогда с учетом формулы (7),
dQ =
. Суммируя по кольцам:
=
=
=
.
В итоге получаем уравнение Пуазейля:
( )
412
8
R P P
Ql
−
=
. (8)
Рис. 5.
Схема
опыта.
12
Метод определения коэффициента вязкости с помощью
капиллярного и медицинского вискозиметра
Раздел физики, посвященный изучению и разработке
методов измерения вязкости, называется вискозиметрией.
Приборы для измерения вязкости называются вискозиметрами.
Вискозиметр стеклянный капиллярный
типа ВПЖ-1 (рис. 6) состоит из измерительного
резервуара (3), ограниченного двумя отметками
М1 и М2, резервуар переходит в капилляр (2), и
резервуар (1), который соединен с изогнутой
трубкой (5) и трубкой (7). Последняя имеет
резервуар (8) с двумя отметками М3 и М4,
указывающие пределы наполнения
вискозиметра жидкостью. Жидкость из
резервуара (3) по капилляру (2) стекает в
резервуар (1) по стенкам последнего, образуя
нижнего конца капилляра «висячий уровень».
Измерение вязкости при помощи капиллярного
вискозиметра основано на определении
времени истечения через капилляр
определенного объема жидкости из
измерительного резервуара.
Методика измерения вязкости
капиллярным вискозиметром основана на
уравнении Пуазейля (8) с учетом того, что
объемная скорость течения Q = V/t, выразим
уравнение через объем V:
( )
412
8
R P P t
Vl
−
=
. (9)
где V – объем жидкости, протекающей через капилляр за время t,
R – радиус капилляра, l – длина капилляра,
dl
dP
l
PP =
−21
– градиент
давления; P1 и P2 – давление в начале и в конце капилляра (P1 > P2).
Непосредственное определение коэффициента вязкости по
этой формуле встречает серьезные экспериментальные трудности,
т.к. радиус капилляра R входит в формулу в четвертой степени R4 и
погрешность при измерении радиуса значительно снижает
Рис. 6.
Капиллярный
вискозиметр
13
точность экспериментальных данных. Поэтому вместо
непосредственного определения коэффициента вязкости по
формуле (9) пользуются сравнительным методом. Для этого берут
поочередно две жидкости и измеряют время истечения одинаковых
объемов каждой жидкости через один и тот же капилляр.
Тогда для первой жидкости можно записать:
( )
411 12 1
1
1
8
R P P t
Vl
−
=
,
аналогично для второй жидкости:
( )
421 22 2
2
2
8
R P P t
Vl
−
=
.
Поскольку V1 = V2, то можно найти из этого условия
коэффициент вязкости второй жидкости η2:
( )
( )
21 22 2
21
11 12 1
P P t
P P t
−
=−
.
В нашем опыте жидкость вытекает под действием силы
тяжести поэтому, с учетом того, что гидростатическое давление
столба жидкости P = ρgh получим:
21 22 2 2
11 12 1 1
P P gh
P P gh
−==
−
,
где ρ1 и ρ2 – плотности первой и второй жидкости.
Тогда коэффициент вязкости второй жидкости η2 с учетом
подстановки будет определяться:
22
21
11
t
t
=
. (10)
Таким образом, зная время истечения вязких жидкостей, их
плотности и коэффициент вязкости одной из них с поправкой на
температуру, можно найти вязкость другой жидкости. В качестве
жидкости с известным коэффициентом вязкости обычно берут
дистиллированную воду.
Медицинский вискозиметр (вискозиметр Гесса)
используется в медицине для определения вязкости крови.
Принцип его действия основан на том, что скорости продвижения
жидкостей в капиллярах с одинаковыми сечениями при равных
температурах и давлениях зависят от вязкости этих жидкостей.
14
Этим методом непосредственно можно определить
относительную вязкость, т.е. во сколько раз отличается вязкость
исследуемой жидкости от вязкости эталонной жидкости.
Рис. 7. Медицинский вискозиметр.
Вискозиметр Гесса состоит из двух градуированных пипеток
А и Б, закрепленных на общей подставке П (рис. 7). В средней части
пипеток имеются одинаковые капилляры а и б длиной l. Слева
концы пипеток соединены тройником, от которого идет резиновая
трубка Д со стеклянным наконечником Е. Нижняя пипетка имеет
слева кран Г. При работе, открыв кран Г и втягивая воздух через
наконечник Е, заполняют пипетку Б дистиллированной водой до
метки «0». Затем, закрыв кран Г, аналогичным образом наполняют
до такого же уровня пипетку А исследуемой жидкостью и кладут
прибор горизонтально. Далее открывают кран Г и, втягивая воздух
(создавая в двух капиллярах одинаковую разность давлений
Р1 – Р2), всасывают жидкость из обеих пипеток так, чтобы
исследуемая жидкость дошла до цифры 1 (l2 = 1). При этом вода,
как менее вязкая жидкость, дойдет до более высокой цифры (l1 = k),
которая и укажет относительную вязкость
отн.
Метод определения вязкости жидкости с помощью
медицинского вискозиметра основан на том, что согласно формуле
Пуазейля (9) объем вязкой жидкости, протекающей по капилляру за
определенный промежуток времени, при прочих равных условиях (в
частности, при одинаковых радиусах капилляров, разностях
давлений на концах капилляров) обратно пропорционален
коэффициенту вязкости жидкости. Следовательно, для двух
сравниваемых жидкостей можно записать:
12
21
V
V
=
.
15
С учетом того, что объем жидкости V в капилляре
определяется как произведение площади сечения капилляра S на
длину пути этой жидкости l, перепишем выражение в виде:
1 1 2
2 2 1
Sl
Sl
=
.
При условии, что капилляры а и б одинаковые, то S = πr2,
сократится, тогда коэффициент вязкости исследуемой жидкости
будет определяться:
1
21
2
l
l
=
. (10)
Зная значение η1 и, измерив соотношение
k
l
l
2
1=
–
относительную вязкость, можно найти коэффициент вязкости
исследуемой жидкости
2
по формуле:
21
k
=
. (11)
где η1 – вязкость воды при данной температуре (табл. 2).
Определение коэффициента вязкости методом Стокса
При наличии больших количеств жидкости коэффициент
вязкости может быть определен методом Стокса.
Преимущество этого метода по сравнению с капиллярным
заключается в том, что измерения могут быть выполнены в
закрытом сосуде – обстоятельство, важное для физиологов и
медиков. По данному методу в исследуемую жидкость опускают
шарик небольших размеров. При движении шарика слой
жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и
движется со скоростью шарика. Ближайшие смежные слои
жидкости также приводятся в движение, но получаемая ими
скорость тем меньше, чем дальше они находятся от шарика.
Стокс установил, что при не слишком быстром движении
тела сферической формы в вязкой жидкости сила сопротивления
движению (сила трения)
прямо пропорциональна скорости
,
радиусу шарика r и коэффициенту вязкости жидкости η. На шарик
в вязкой жидкости действуют три силы (рис. 8):
1. Сила Стокса:
6
C
Fr
= −
. (12)
16
2. Сила тяжести:
3
4
3
Тш
F r g
=
. (13)
где ρш – плотность шарика.
3. Сила Архимеда:
3
4
3
Аж
F r g
= −
. (14)
где ρж – плотность жидкости.
По второму закону Ньютона:
С Т А
F F F m a+ + =
. (15)
Переходя от векторной записи к алгебраической (проецируя
уравнение (15) на ось ОХ) и учитывая направление действия сил,
получим:
С А Т
F F F m a+ − = −
. (16)
Рис. 8. Действие сил при падении шарика в вязкой жидкости.
Так как сила трения FC зависит от скорости (12), то
устанавливается равномерное движение шарика (a = 0) и
уравнение (16) принимает следующий вид:
0
С А Т
F F F+ − =
или
Т С А
F F F=+
(17)
17
Подставляя значения этих сил из формул (12, 13, 14) в
уравнение (17), получим:
33
446
33
шж
r g r g r
= +
.
Из последнего уравнения выразим коэффициент вязкости:
( )
2
2
9
шж
rg
−
=
. (18)
Эта формула справедлива для шариков небольшого размера,
т.к. в противном случае, при движении шарика в жидкости
возникают завихрения и течение жидкости становится
турбулентным.
Таким образом, зная скорость установившегося движения υ,
плотности шарика ρш и жидкости ρж, а также радиус шарика r,
можно по формуле (18) вычислить значение коэффициента
вязкости исследуемой жидкости η.
Прибор для измерения состоит, например, из стеклянного
цилиндрического сосуда (рис. 8), наполненного исследуемой
жидкостью, плотность которой известна. На стенке сосуда
имеются две горизонтальные метки А и Б, расположенные друг от
друга на расстоянии l. Диаметр 2r шарика измеряют обычно с
помощью микрометра или штангенциркуля.
Шарик опускают в жидкость по оси цилиндра, причем глаз
наблюдателя должен быть при этом установлен против метки так,
чтобы вся она сливалась в одну прямую. При прохождении шариком
первой метки включают секундомер, при прохождении второй
останавливают. Считая, что к моменту прохождения верхней метки
скорость установилась постоянной, получим
t
l
=
, где t – время
прохождения шарика расстояния l между метками А и Б. По формуле
(18) вычисляется коэффициент вязкости η исследуемой жидкости.
Центрифугирование
По вышеописанному методу можно также определить
размеры (радиус r) коллоидной частицы по скорости ее оседания υ
в монодисперсной системе. Так из формулы (18) следует, что:
( )
9
2шж
rg
=−
. (19)
18
Этот метод играет важную роль в медицине, он дает
возможность определить размеры кровяных шариков и других
малых частиц по скорости их оседания.
Зная вязкость исследуемой жидкости и размеры частиц
можно определить скорость оседания кровяных шариков:
( )
2
2
9
шж
gr
−
=
. (20)
Так как эта скорость очень мала, из-за малых размеров
частиц, то ее можно увеличить с помощью центрифуги.
Центрифугирование – это разделение механических смесей на
составные части действием центробежной силы.
Основной частью центрифуги является ротор с
монтированными в нем гнездами для пробирок. Принцип действия
центрифуги основан на создании большой центробежной силы,
под влиянием которой скорость разделения компонентов смеси,
помещенной в центрифугу, увеличивается во много раз по
сравнению со скоростью разделения их под действием силы
тяжести. В центрифуге на частицу действует такая сила, как если
бы ускорение свободного падения g увеличилось бы до ω2d
(где ω – угловая скорость вращения центрифуги, d – расстояние от
частицы до оси вращения. Применительно к центрифуге
последнее уравнение запишется так:
( )
22
2
9
шж
dr
−
=
. (21)
В клинических лабораториях центрифугирование
используют для отделения эритроцитов от плазмы крови, сгустков
крови от сыворотки, плотных частиц от жидкой части мочи и т. д.
Определение скорости оседания эритроцитов (СОЭ) (иногда ее
называют реакцией оседания эритроцитов – РОЭ), изменяющейся
при воспалительных процессах, является одним из методов
диагностики различных заболеваний.
Физические основы клинического метода измерения
артериального давления
Прямое измерение давления крови осуществляется введением
катетера непосредственно в кровеносный сосуд или полость
сердца. Катетер заполняется изотоническим раствором и передает
19
давление крови с вводимого конца на внешний измерительный
прибор или устройство автоматизированной обработки данных.
Прямая манометрия – практически единственный метод измерения
давления в полостях сердца и центральных сосудах. Венозное
давление надежно измеряется так же прямым методом. Основной
недостаток прямых измерений очевиден – это необходимость
введения измерительных устройств в полость сосуда.
Непрямые измерения давления крови производятся без
нарушения целостности сосудов и тканей. В подавляющем
большинстве непрямые методы являются компрессионными – они
основаны на уравновешивании давления внутри сосуда
измеряемым внешним давлением на его стенку.
Простейшим из таких методов является пальпаторный
способ определения систолического артериального давления,
предложенный Рива-Роччи. При его осуществлении на среднюю
часть плеча накладывают компрессионную манжету. Давление
воздуха в манжете измеряется с помощью манометра.
Накачиванием воздуха в манжету давление в ней быстро
поднимается до значения, превышающего систолическое. Затем
воздух из манжеты медленно выпускают, одновременно наблюдая
за появлением пульса в лучевой артерии. Зафиксировав
пальпаторно появление пульса, отмечают в этот момент значение
давления в манжете, которое и принимают за систолическое
давление.
Аускультативный метод имеет наибольшее
распространение и основан на установлении систолического и
диастолического давления по возникновению и исчезновению в
артерии особых звуковых явлений – тонов Короткова. Так же как
и в методе Рива-Роччи, на область плеча накладывается
компрессионная манжета (рис. 9), в которую накачивается воздух,
создавая давление, большее систолического. В это время (а) тоны
Короткова не обнаруживаются. При выходе воздуха из манжеты
просвет сосуда увеличивается и при равенстве наружного
давления систолическому возникают характерные звуки,
прослушиваемые с помощью стетоскопа. В этот момент (б) по
манометру определяю систолическое давление. Момент
исчезновения шумов (в) соответствует равенству измеряемого
наружного давления диастолическому.
20
Рис. 8. Определения давления крови методом Короткова.
Аускультативный метод реализуется в различных вариантах.
В частности, в измерителях давления тоны Короткова могут
восприниматься микрофоном, преобразующим звуковые
воздействия в электрические сигналы, поступающие на
регистрирующее устройство. На цифровом табло регистратора
указываются значения систoлического и диастолического
давления. В некоторых приборах изменения в движении стенок
артерии при систолическом и диастолическом давлении
(сопровождающиеся возникновением и исчезновением тонов
Короткова) определяются с помощью ультразвуковой локации и
эффекта Доплера.
Порядок выполнения работы
Упражнение 1. Определение коэффициента вязкости
жидкости капиллярным вискозиметром.
1. Испытуемая жидкость заливается в чистый вискозиметр
через трубку (7) (рис. 6) так, чтобы уровень её установился между
отметками М3 и М4. На концы трубок (5) и (6) надевают резиновые
трубки, причём первая из них снабжена краном и резиновой
грушей, вторая – краном.
21
2. Резиновой грушей при закрытой трубке (6) засосать
жидкость выше отметки M1 примерно до половины резервуара (4)
и перекрыть кран, соединённый с трубкой (5).
3. Открыть кран на трубке (5) и освободить зажим на трубке
(6). Далее измерить время понижения уровня в трубке (5) от
отметки M1 до отметки М2. Необходимо при этом обращать
внимание на то, чтобы к моменту подхода уровня жидкости к
отметке M1 в резервуаре (1) образовался висячий уровень, а в
капилляре не было бы пузырьков воздуха.
4. Произвести 5 измерений времени истечения эталонной
жидкости (дистиллированная вода) t1 для определения ее вязкости.
Результаты измерения занесите в таблицу 1.
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений
№ n/n
t1i, (с)
, (с2)
t2i, ( с)
, (с2)
1
2
3
4
5
Сумма (∑)
Среднее
=
–
=
–
5. Аналогично 5 раз измерьте время истечения исследуемой
жидкости t2.
6. Произведите расчеты, заполнив таблицу 1.
7. Рассчитайте среднее значение коэффициента вязкости
2
исследуемой жидкости по формуле:
22
21
11
t
t
=
,
где:
1 =1000 кг/м3 – плотность воды,
2 =800 кг/м3 – плотность
исследуемой жидкости;
1
t
и
2
t
– средние значения времени
истечения дистиллированной воды и исследуемой жидкости
соответственно. Значение коэффициента вязкости
дистиллированной воды
1
возьмите из таблицы 2.
( )
2
11 i
tt −
( )
2
22 i
tt −
1
t
2
t
22
Таблица 2
Зависимость коэффициента вязкости дистиллированной воды
от температуры
t(c)
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1,
мПас
1,16
1,11
1,08
1,06
1,03
1,00
0,98
0,96
0,93
0,91
8. Вычислите абсолютную погрешность измерений при
доверительной вероятности
= 0,95 по следующим формулам:
2
2
2
2
1
1
22
+
= t
t
t
t
,
где:
t1= t
, n
t1 = 2,78
)1(
)( 2
1
11
−
−
=
nn
tt i
n
i
,
t2= t
, n
t2 = 2,78
)1(
)( 2
2
12
−
−
=
nn
tt i
n
i
.
В вышеприведенных формулах коэффициент Стьюдента t
,n
при =0,95 и числе опытов n = 5 равен: t
,n = 2,78.
9. Найдите относительную погрешность измерения при
заданной доверительной вероятности по формуле:
2
2
2
100%
=
.
10. Записать результат косвенного измерения коэффициента
вязкости в виде:
222 =
(мПас).
Контрольные вопросы
1. Опыт Ньютона по определению вязкости. Физический смысл
коэффициента вязкости, единицы измерения.
2. Основные уравнения гидродинамики. Формула Пуазейля.
3. Метод определения коэффициента вязкости с помощью
капиллярного и медицинского вискозиметра.
4. Метод определения коэффициента вязкости методом
Стокса. Центрифугирование.
5. Виды течения жидкости, число Рейнольдса.
6. Физические основы клинического метода измерения
артериального давления.
23
Задачи
1. Определите среднюю линейную скорость кровотока в
сосуде радиусом r = 1,5 см, если во время систолы через него
протекает V = 60 мл крови. Считать длительность систолы t = 0,25 с.
2. При чуме артерия сужается в 2 раза. Во сколько раз при
этом изменится объемная скорость кровотока?
3. При некоторых заболеваниях критическое число
Рейнольдса в сосудах принимает значение Re = 1160. Найдите
скорость движения крови υ, при которой возможен переход
ламинарного течения в турбулентное в сосуде диаметром D = 2 мм.
Плотность крови ρ1 = 1060 кг/м3, вязкость крови η = 5 мПа∙с.
Рекомендуемая литература
1. Ремизов, А.Н. Медицинская и биологическая физика [Текст]:
учеб. - 4-е изд., испр. и перераб. - М.: Изд. группа "ГЭОТАР-
Медиа", 2014. - 647 с.: ил. - ISBN 978-5-9704-2955-6 [Глава 5, C.
101-103, Глава 9, С. 158-168, Глава 11, С. 197-208].
2. Антонов В.Ф. Физика и биофизика [Электронный ресурс]:
учебник- 2-е изд., испр. и доп. - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2015. - ISBN
978-5-9704-3526-7. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970435267-
0005/038.html [Раздел 5, Раздел 6/11, С. 39-68].
3. Физика и биофизика. Руководство к практическим занятиям
[Электронный ресурс]: учебное пособие. - М.: ГЭОТАР-Медиа,
2013. - ISBN 978-5-9704-2677-7. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970426777-
0002/000.html [Глава 2, Раздел 3/6, С. 1-3].
4. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика
[Электронный ресурс]: учебник - 4-е изд., испр. и перераб. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2013. - ISBN 978-5-9704-2484-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970424841-0012.html
[Глава 9, Раздел 13/43, C. 1-6, Глава 11, Раздел 15/43, C. 1-6, Глава
5, Раздел 9/43, C. 12-13].
5. Федорова В.Н. Медицинская и биологическая физика. Курс
лекций с задачами [Электронный ресурс]: учебное пособие. - М.:
ГЭОТАР-Медиа, 2010. - ISBN 978-5-9704-1423-1. URL:
http://www.studmedlib.ru/ru/doc/ISBN9785970414231-0008.html
